101 - 數論

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一、
（一）$x=10+35t$, where $t$ is an integer.
（二）$x=10+1190k$, where $k$ is an integer.

二、
$(u,v)=(30,34)$

三、
因為 $(3,13)=1$，根據費馬小定理，有 $3^{12}\equiv 1\mbox{ (mod $13$)}$。所以 $3^{19}\equiv 3^7 \equiv (3^3)^2\cdot 3\equiv 3\mbox{ (mod $13$)}$。

原式 $u^2\equiv 3^{19}\equiv 3\mbox{ (mod $13$)}$，此乃二次同餘式。易知 $u\equiv 4,9\mbox{  (mod $13$)}$。因為 $1\leq u\leq 12$，所以有 $u=4$ 及 $u=9$ 兩解。

當 $u=4$，$i^u=i^4=1$；當 $u=9$，$i^u=i^9=i=\sqrt{-1}$。

四、
因為 $p$ 是質數，所以存在原根。設 $y$ 是模 $p$ 之原根，則有 $y^{p-1}\equiv 1\mbox{ (mod $p$)}$。

用反證法。假設 $(p-1)\nmid (v-1)$，則 $y^{v-1}\not\equiv 1\mbox{ (mod $p$)}$。因為 $p|v$，所以  $y^{v-1}\not\equiv 1\mbox{ (mod $v$)}$，或寫為 $y^v\not\equiv y\mbox{ (mod $v$)}$，與題目所設條件矛盾！故 $(p-1)\mid (v-1)$。

五、
對於tobeornottobe，$D=292411142427232429241114=\underset{u}{\underbrace{2924111424272}}\times 10^{13}+\underset{v}{\underbrace{3242929241114}}$

對於yes，$Y=241428$；對於not，$N=232429$

我們知道 $i^2=-1$，$i^4=1$。$\left\{\begin{matrix}
u\equiv 0\mbox{ (mod $4$}\\
v\equiv 2\mbox{ (mod $4$)}\\
Y\equiv 0\mbox{ (mod $4$)}\\
N\equiv 1\mbox{ (mod $4$)}
\end{matrix}\right.$

所以 $2i^u+i^v=2+(-1)=1=1+0i$，而 $i^Y+i^N=1+i$。
比較兩式後，只有實部相同，所以會選 yes。